已知:如图,△ABC内接于圆,AD⊥BC于D,弦BH⊥AC于E,交AD于F.求证:FE=EH.

已知:如图,△ABC内接于圆,AD⊥BC于D,弦BH⊥AC于E,交AD于F.求证:FE=EH.

题目
已知:如图,△ABC内接于圆,AD⊥BC于D,弦BH⊥AC于E,交AD于F.求证:FE=EH.
答案
证明:连接AH,
∵AD⊥BC,BH⊥AC,
∴∠FDB=∠AEF=90°,
∵∠AFE=∠BFD,
∴∠EAF=∠FBD,
∵∠HAC=∠HBC,
∴∠HAE=∠EAF,
∵BH⊥AC,
∴∠AEF=∠AEH=90°,
在△AEF和△AEH中,
∠DAE=∠HAE
AE=AE
∠AEF=∠AEH

∴△AEF≌△AEH(ASA),
∴FE=EH.
首先连接AH,由AD⊥BC,BH⊥AC与∠AFE=∠BFD,即可得∠EAF=∠FBD,又由圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可得∠HAC=∠HBC,即可得∠HAE=∠FAE,则可用ASA证得△AEF≌△AEH,继而证得FE=EH.

圆周角定理.

此题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质.此题难度适中,解题的关键是准确作出辅助线,掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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