不定积分∫（xcosx）/sin²x dx等于多少?

题目

不定积分∫（xcosx）/sin²x dx等于多少?

答案

∫［xcosx/（sinx）^2］dx
＝∫［x/（sinx）^2］d（sinx）
＝－∫xd（1/sinx）
＝－x/sinx＋∫（1/sinx）dx
＝－x/sinx＋∫［sinx/（sinx）^2］dx
＝－x/sinx－∫［1/（sinx）^2］d（cosx）
＝－x/sinx－（1/2）∫｛（1＋cosx＋1－cosx）/［（1＋cosx）（1－cosx）］｝d（cosx）
＝－x/sinx－（1/2）∫［1/（1－cosx）］d（cosx）－（1/2）∫［1/（1＋cosx）］d（cosx）
＝－x/sinx＋（1/2）ln（1－cosx）－（1/2）ln（1＋cosx）＋C