设A为n阶方阵，证明：如果A2=E，则秩（A+E）+秩（A-E）=n．

题目

设A为n阶方阵，证明：如果A²=E，则秩（A+E）+秩（A-E）=n．

答案

证明：因为 A²=E，所以 0=（A-E）（A+E）
所以 0=r（（A+E）（A-E））≥r（A+E）+r（A-E）-n
所以 r（A+E）+r（A-E）≤n
又因为 r（A+E）+r（A-E）=r（A+E）+r（E-A）≥r（A+E+E-A）=r（2E）=n
所以 r（A+E）+r（A-E）=n．