如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,AB=10cm,点P由点C出发以每秒2 cm的速度沿线CA向点A运动(不运动至A点),⊙O的圆心在BP上,且⊙O分别与AB、AC相切,当点P运动2秒钟时,
题目
如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,AB=10cm,点P由点C出发以每秒2 cm的速度沿线CA向点A运动(不运动至A点),⊙O的圆心在BP上,且⊙O分别与AB、AC相切,当点P运动2秒钟时,⊙O的半径是( )
A.
cm
B.
cm
C.
cm
D. 2cm
答案
连接OR、OM,
则OR⊥AC,OM⊥AB;过O作OK⊥BC于K,
设⊙O的半径为r,
易知:△POR∽△PBC,
∴
=,
∵BC=
=6cm,
∴
=
,即:PR=
r,
AP=CP=2×2=4cm,
在Rt△BOK与Rt△BMO中,根据勾股定理,得:
(6-r)
2+(4-
r)
2=BO
2=[10-(8-4+
r)]
2+r
2解得:r=
cm.
故本题选A.
本题较复杂,设AC、AB与⊙O的切点分别为R、M,连接OR、OM,过O作OK⊥BC于K;由于△POR∽△PCB,可得出关于PR,OR,PC,BC的比例关系式,由此可求出PR与半径的比例关系.由此可表示出OK,AP的长;在Rt△OBK中,已知了OK的表达式,BK=BC-r,而OB可在Rt△OBM中用勾股定理求得.由此可根据勾股定理求出半径r的长.
相似三角形的判定与性质;角平分线的性质;勾股定理;三角形中位线定理;切线的性质.
此题虽是动点问题,但和动点无直接关系,实质是运用切线的性质和勾股定理得到一个关于半径的方程,然后求解.
举一反三
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