设A=【2,1,1；1,2,1；1,1,2】,x=(1,k,1)^T是A^-1的一个特征向量,试求常数K的值及A^-1与x对应的特征值λ

题目

设A=【2,1,1；1,2,1；1,1,2】,x=(1,k,1)^T是A^-1的一个特征向量,试求常数K的值及A^-1与x对应的特征值λ

答案

由已知,A^-1x = λx
等式两边左乘A得 x = λAx
即 Ax = (1/λ)x
所以有
k+3 = 1/λ
2k+2 = k/λ
所以 2k+2 = k(k+3)
即 k^2-2k+1 = 0
即 (k-1)^2=0
所以 k = 1,λ = 1/4