已知数列1/1×3,1/3×5,1/5×7,…1/(2n−1)(2n+1),设其前n项和为Sn. (1)求出S1,S2,S3,S4; (2)猜想前n项和Sn并证明.
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已知数列1/1×3,1/3×5,1/5×7,…1/(2n−1)(2n+1),设其前n项和为Sn. (1)求出S1,S2,S3,S4; (2)猜想前n项和Sn并证明.
题目
已知数列
1
1×3
答案
(1)
S
1
=
1
3
,
S
2
=
1
3
+
1
3×5
=
2
5
,S
3
=
2
5
+
1
5×7
=
3
7
,
S
4
=
3
7
+
1
7×9
=
4
9
.
(2)由(1)猜想
S
n
=
n
2n+1
.
证明:∵
1
(2n−1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n−1
−
1
2n+1
)
,
∴S
n
=
1
2
[(1−
1
3
)+(
1
3
−
1
5
)+…+(
1
2n−1
−
1
2n+1
)]
=
1
2
(1−
1
2n+1
)
=
n
2n+1
.
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