点A,B为抛物线y2=4x上两动点,O为原点,且OA⊥OB,求线段AB的中点M的轨迹方程

题目

点A,B为抛物线y2=4x上两动点,O为原点,且OA⊥OB,求线段AB的中点M的轨迹方程

答案

设OA,OB的方程分别为:y=kx,y=-x/k,
由y=kx,y²=4x,得ky²-4y=0,∴ A(4/k²,4/k).
y=-x/k,y²=4x,得y²+4ky=0,∴ B(4k²,-4k).
AB的中点M的坐标x=2[(1/k²)+k²]...①,y=2[(1/k)-k]...②,
②式平方与①消去参数k,得轨迹方程y²=2(x-4)