已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c若f(x)+f(x+1)=2x^2-2X+13
题目
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c若f(x)+f(x+1)=2x^2-2X+13
(1)求函数f(x)的解析式
(2)当x∈[1,3]时,求f(x)的反函数
(3)当x∈[t,5]时,求函数f(x)的最大值
答案
第(2)问自己做,(1),(3)答案如下:
分析:(1)由f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c,得到f(x)+f(x+1)=2ax2+(2a+2b)x+a+b+2c=2x2-2x+13,由此求出a,b,c的值,从而得到函数f(x)的解析式.
(3)x∈[t,5],f(x)=x2-2x+7=(x-1)2+6,当-3≤t≤5时,函数f(x)的最大值为f(5)=f(-3)=9+6+7=22.当t<-3时,函数f(x)的最大值为f(t)=(t-1)2+6.
(1)f(x)+f(x+1)=ax2+bx+c+a(x+1)2+b(x+1)+c=2ax2+(2a+2b)x+a+b+2c
∵f(x)+f(x+1)=2x2-2x+13∴2a=22a+2b=-2a+b+2c=13∴a=1b=-2c=7∴f(x)=x2-2x+7
(3)∵x∈[t,5],f(x)=x2-2x+7=(x-1)2+6,
∴当-3≤t≤5时,函数f(x)的最大值为f(5)=f(-3)=9+6+7=22.
当t<-3时,函数f(x)的最大值为f(t)=(t-1)2+6.
∴f(x)max=22,-3≤t≤5(t-1)2+6,t<-3.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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