已知二次函数f（x）=ax^2+bx+c若f（x）+f（x+1）=2x^2-2X+13

题目

已知二次函数f（x）=ax^2+bx+c若f（x）+f（x+1）=2x^2-2X+13
（1）求函数f（x)的解析式
（2）当x∈[1,3]时,求f(x)的反函数
（3）当x∈[t,5]时,求函数f（x）的最大值

答案

第(2)问自己做,(1),(3)答案如下:
分析：（1）由f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c,得到f（x）+f（x+1）=2ax2+（2a+2b）x+a+b+2c=2x2-2x+13,由此求出a,b,c的值,从而得到函数f（x）的解析式．
（3）x∈[t,5],f（x）=x2-2x+7=（x-1）2+6,当-3≤t≤5时,函数f（x）的最大值为f（5）=f（-3）=9+6+7=22．当t＜-3时,函数f（x）的最大值为f（t）=（t-1）2+6．
（1）f（x）+f（x+1）=ax2+bx+c+a（x+1）2+b（x+1）+c=2ax2+（2a+2b）x+a+b+2c
∵f（x）+f（x+1）=2x2-2x+13∴2a=22a+2b=-2a+b+2c=13∴a=1b=-2c=7∴f（x）=x2-2x+7
（3）∵x∈[t,5],f（x）=x2-2x+7=（x-1）2+6,
∴当-3≤t≤5时,函数f（x）的最大值为f（5）=f（-3）=9+6+7=22．
当t＜-3时,函数f（x）的最大值为f（t）=（t-1）2+6．
∴f(x)max=22,-3≤t≤5(t-1)2+6,t＜-3．