已知二次函数y=2x²-4mx+m²

题目

已知二次函数y=2x²-4mx+m²
若这个函数的图像与x轴的交点为A、B,顶点为C,且△ABC的面积为（4倍根号2）,求此二次函数的函数表达式.

答案

解析：
由题意可设函数的图像与x轴的交点坐标为A(x1,0)、B(x2,0)
则可知x1和x2是方程2x²-4mx+m²=0的两个不同的实数根
由韦达定理有：x1+x2=2m,x1*x2=m²/2
那么：AB=|x2-x1|=根号[(x1+x2)²-4x1*x2]=根号(4m²-2m²)=根号2 *|m|
又函数解析式：y=2x²-4mx+m²=2(x²-2mx+m²-m²)+m²=2(x-m)²-m²
则顶点C坐标为（m,-m²)
可知点C到x轴的距离为d=m²
所以：S△ABC=(1/2)*d*AB=(1/2)*m²*根号2 *|m|=4根号2
即：|m|³=8
解得：m=2或-2
所以函数解析式为：y=2x²-8x+4或y=2x²+8x+4