已知函数f（x）=alnx/x+1+b/x，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnx/x−1．

题目

已知函数f（x）=

alnx

x+1

+

b

x

，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞

lnx

x−1

．

答案

（I）f′(x)＝

a( x+1 x − lnx)

(x+1)2

−

b

x2

．
由于直线x+2y-3=0的斜率为-

1

2

，且过点（1，1）
所以

b＝1 a 2 −b

＝−

1

2

解得a=1，b=1
（II）由（I）知f（x）=

lnx

x+1

+

1

x

所以f(x)−

lnx

x−1

＝

1

1−x2

(2lnx−

x2−1

x

)
考虑函数h(x)＝2lnx−

x2−1

x

(x＞0)，
则h′(x)＝

2

x

−

2x2−(x2−1)

x2

＝−

(x−1)2

x2

所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，
当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得

1

1−x2

h(x)＞0；
当x∈(1，+∞)时，h(x)＜0，可得

1

1−x2

h(x)＞0
从而当x＞0且x≠1时，
f(x)−

lnx

x−1

＞0即f(x)＞

lnx

x−1

（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值．
（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．