求幂级数∑(n=1,∞)nx^n的收敛域与和函数.

题目

求幂级数∑(n=1,∞)nx^n的收敛域与和函数.

答案

把求和项里的x提出来一个
s(x)/x=∑(n=1,∞)nx^（n-1）
两边同时积分,∫∑(n=1,∞)nx^（n-1）积分得∑(n=1,∞)x^n级数=1/（1-x）-1 ,（|x|<1).
再把等式两边同时求导,得s(x)/x=(-1)/(1-x)^2,（-1x=-1时代入原式级数发散,x=1时代入原式级数发散,故收敛域（-1,1）