三角形ABC中,3SinB=Sin（2A+B）,4tan(A/2)=1-tan²(A/2).求证：A+B=π/4

题目

三角形ABC中,3SinB=Sin（2A+B）,4tan(A/2)=1-tan²(A/2).求证：A+B=π/4

答案

证明如下：
因为4tan(A/2)=1-tan²(A/2),根据二倍角正切公式可得
tanA=2tan(A/2)/[1-tan²(A/2)]=2tan(A/2)/4tan(A/2)=1/2
sinA/cosA=1/2
所以cosA=2sinA
3sinB=sin(2A+B)
3sinB=sin2AcosB+cos2AsinB
3sinB=2sinAcosAcosB+(cos²A-sin²A)sinB
3sinB=2sinA(2sinA)cosB+[(2sinA)²-sin²A]sinB
3sinB=4sin²AcosB+3sin²AsinB
4sin²AcosB=3sinB-3sin²AsinB
4sin²AcosB=3sinB(1-sin²A)
4sin²AcosB=3sinBcos²A
4sin²AcosB=3sinB(2sinA)²
4sin²AcosB=12sinBsin²A
cosB=3sinB
tanB=1/3
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(1/2+1/3)/[1-(1/2)*(1/3)]=1
因此A+B=π/4
²这是平方
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