已知f(x)=2asinx^2-2根3asinxcosx+a+b的定义域是[pi/2,pi],值域是[2,5],求a,b的值.

题目

已知f(x)=2asinx^2-2根3asinxcosx+a+b的定义域是[pi/2,pi],值域是[2,5],求a,b的值.

答案

f(x)=2asin²x-2√3asinxcosx+a+b
=a(1-cos2x)-√3asin2x+a+b
=-2a(1/2cos2x+√3/2sin2x)+2a+b
=-2asin(2x+π/6)+2a+b
x∈[π/2,π],2x+π/6∈[7π/6,13π/6]
当2x+π/6=13π/6时,sin(2x+π/6)取到最大值1/2,
当2x+π/6=3π/2时,sin(2x+π/6)取到最小值-1,
如果a＞0,则2a+2a+b=5,-a+2a+b=2,解得 a=b=1；
如果a＜0,则-a+2a+b=5,2a+2a+b=2,解得a=-1,b=6.