如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正方形
题目
如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正方形.
答案
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO.
又∵△ACE是等边三角形,
∴EO⊥AC(三线合一),即AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO.
又∵△ACE是等边三角形,
∴EO平分∠AEC(三线合一),
∴∠AED=
∠AEC=
×60°=30°,
又∵∠AED=2∠EAD
∴∠EAD=15°,
∴∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°(三角形的一一个外角等于和它外角不相邻的两内角之和),
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ADC=2∠ADO=90°,
∴平行四边形ABCD是正方形.
(1)根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由题意易得△AOE≌△COE,∴∠AOE=∠COE=90°,∴BE⊥AC,∴四边形ABCD是菱形;
(2)根据有一个角是90°的菱形是正方形.由题意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°,∵四边形ABCD是菱形,∴∠ADC=2∠ADO=90°,∴四边形ABCD是正方形.
菱形的判定;平行四边形的性质;正方形的判定.
此题主要考查菱形和正方形的判定,要灵活应用判定定理及等腰三角形的性质、外角的性质定理.
举一反三
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