过点P(-1,1)作直线与椭圆x24+y22=1交于AB两点,若线段AB中点恰为P点,求AB所在直线方程

题目

过点P(-1,1)作直线与椭圆x24+y22=1交于AB两点,若线段AB中点恰为P点,求AB所在直线方程

答案

显然,AB不可能与y轴平行,否则A、B关于x轴对称,即AB的中点不可能是点P.
令AB的斜率为k,则AB的方程是：y－1＝k（x＋1）,即：y＝kx＋k＋1.
∴可设A、B的坐标分别是（m,km＋k＋1）、（n,kn＋k＋1）.
联立：y＝kx＋k＋1、x^2/4＋y^2/2＝1,消去y,得：x^2/4＋（kx＋k＋1）^2/2＝1,
∴x^2＋2［k^2x^2＋2k（k＋1）x＋（k＋1）^2］－4＝0,
∴（1＋2k^2）x^2＋4k（k＋1）x＋2（k＋1）^2－4＝0.
很明显,m、n是方程（1＋2k^2）x^2＋4k（k＋1）x＋2（k＋1）^2－4＝0的两根,
∴由韦达定理,有：m＋n＝－4k（k＋1）/（1＋2k^2）,
∴（m＋n）/2＝－2k（k＋1）/（1＋2k^2）.
∵P是AB的中点,∴（m＋n）/2＝－1,∴－2k（k＋1）/（1＋2k^2）＝－1,
∴2k（k＋1）＝1＋2k^2,∴2k^2＋2k＝1＋2k^2,∴k＝1/2.
∴AB的方程是：y＝（1/2）x＋1/2＋1,即：x－2y＋3＝0.