已知函数f(t)对任意实数x、y有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy,且f(1)=1

题目

已知函数f(t)对任意实数x、y有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy,且f(1)=1
已知函数f(t)对任意实数x、y有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy,且f(1)=1
(1) 求f(t)的表达式？
(2) F(t)≥m恒等成立，求m的取值范围

答案

(1)设y=1,代入f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy得
f(x+1)=f(x)+f(1)+3x
f(x+1)-f(x)=f(1)+3x
令x=1,2,...,n-1得
f(2)-f(1)=f(1)+3*1
f(3)-f(2)=f(1)+3*2
...
f(n)-f(n-1)=f(1)+3*(n-1)
将上面各式相加得
f(n)-f(1)=(n-1)f(1)+3*n(n-1)/2
由f(1)=1得
f(n)=nf(1)+3*n(n-1)/2=n(3n-1)/2
即f(x)=x(3x-1)/2
(2)f(t)=t(3t-1)/2≥m恒成立,故判别式
3t^2-t-2m