多边形中找三角形

题目

多边形中找三角形
比如八边形,将每个顶点都连接起来,能够形成多少个的三角形?
有通用的公式吗?

答案

有,一般我们指的多边形是指凸多边形（可略过不看）
在你的问题中,将每个顶点都连接起来应该是指顶点A和顶点B连成的线段AB而不是直线AB
还有,能够形成多少个的三角形应该是指最多能够形成多少个的三角形.
在这些前提下,答案：
对一个n边形,将每个顶点都连接起来,能够形成的三角形数是
分情况讨论：
1：由两原多边形边和一整根顶点间连线组成的三角形有n个
2：由两整根顶点间连线和原多边形的一边组成的三角形有n（n-4）个
3：部分顶点间连线作为三角形一边,但这部分的一个端点是原多边形的顶点的三角形有
n[1*(n-3)+2*(n-4)+……+(n-4)*2+(n-3)*1]个
4：由部分顶点间连线作为三角形一边,但这部分的两个端点都不是原多边形的顶点的三角形有
n｛[1*(n-3)]*[1*(n-3)-1]+[2*(n-4)]*[2*(n-4)-1]+……+[(n-4)*2]*[(n-4)*2-1]+[(n-3)*1]*[(n-3)*1-1]]｝/4个
总的三角形数就是四部分的和.
比如,正方形有4+0+4+0=8个三角形
五边形有5+5+20+5=35个三角形
八边形有8+32+240+448=728个三角形.
实在想不出更加简单的公式,如果有,请不吝赐教.