若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)乘f(-x)为偶函数

题目

若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)乘f(-x)为偶函数
怎么证明

答案

设F(x)=f(x)*f(-x),则函数F(x)的定义域与f(x)的定义域相同.
因为F(-x)=f(-x)*f[-(-x)]=f(x)*f(-x)=F(x).
所以,F(x)是偶函数.
而F(x)=f(x)*f(-x).
所以,f(x)*f(-x)是偶函数.