如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4,E为BC的中点,F为CC1的中点. (1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值; (2)求二面角F-DE-C的余弦值.

如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4,E为BC的中点,F为CC1的中点. (1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值; (2)求二面角F-DE-C的余弦值.

题目
如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4,E为BC的中点,F为CC1的中点.

(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值;
(2)求二面角F-DE-C的余弦值.
答案
作业帮 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(1,2,0),F(0,2,2).
(1)
EF
=(-1,0,2).
易得平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),
设EF与n的夹角为θ,
则cosθ═
2
5
5

∴EF与平面ABCD所成的角的余弦值为
5
5

(2)
EF
=(-1,0,2),
DF
=(0,2,2).
设平面DEF的一个法向量为m,则m•
DF
=0,m•
EF
=0,
可得m=(2,-1,1),∴cos<m,n>=
m•n
|m||n|
=
6
6

∴二面角F-DE-C的余弦值为
6
6
(1)以D点为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,先求出平面ABCD的一个法向量为
n
,设EF与
n
的夹角为θ,求出此角的余弦值,根据EF与平面ABCD所成的角与θ互补求出所求即可;
(2)先求出
EF
DF
的坐标,设平面DEF的一个法向量为m,则m•
DF
=0,m•
EF
=0,建立两个等式关系,求出m,利用两法向量的夹角公式求出cos<m,n>,即可得到二面角F-DE-C的余弦值.

直线与平面所成的角;与二面角有关的立体几何综合题.

本题主要考查了直线与平面所成的角,以及二面角等基础知识,考查空间想象能力,运算能力和推理论证能力,属于中档题.

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