若函数f(x)在x=0处连续,且lim(f(x)/x)存在,试问函数f(x)在点x=0处是否可导

题目

若函数f(x)在x=0处连续,且lim(f(x)/x)存在,试问函数f(x)在点x=0处是否可导

答案

因为 lim(f(x)/x)存在 所以当(x->0) 时 limf(x)=0 （同阶无穷小）
又因为f（x）在x=0处连续 所以f（0）=0 （函数连续的定义）
所以：f'(0)=lim[f(x)-f（0）]/(x-0)=lim[f(x)/x] (x->0) （用定义式求导数）
所以存在 并且 f'(0)= lim[f(x)/x] (x->0)