如图,E,F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点.且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列结论:①AE=BF,②AE⊥BF,③AO=OE,④S△AOB=S四边形DEOF中,错误的有_.(只填序号)
题目
如图,E,F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点.且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列结论:①AE=BF,②AE⊥BF,③AO=OE,④S
△AOB=S
四边形DEOF中,错误的有______.(只填序号)
答案
在正方形ABCD中,∠BAF=∠D=90°,AB=AD=CD,
∵CE=DF,
∴AD-DF=CD-CE,
即AF=DE,
在△ABF和△DAE中,
,
∴△ABF≌△DAE(SAS),
∴AE=BF,故①正确;
∠ABF=∠DAE,
∵∠DAE+∠BAO=90°,
∴∠ABF+∠BAO=90°,
在△ABO中,∠AOB=180°-(∠ABF+∠BAO)=180°-90°=90°,
∴AE⊥BF,故②正确;
假设AO=OE,
∵AE⊥BF(已证),
∴AB=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等),
∵在Rt△BCE中,BE>BC,
∴AB>BC,这与正方形的边长AB=BC相矛盾,
所以,假设不成立,AO≠OE,故③错误;
∵△ABF≌△DAE,
∴S
△ABF=S
△DAE,
∴S
△ABF-S
△AOF=S
△DAE-S
△AOF,
即S
△AOB=S
四边形DEOF,故④正确;
综上所述,错误的有③.
故答案为:③.
根据正方形的性质可得∠BAF=∠D=90°,AB=AD=CD,然后求出AF=DE,再利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=BF,从而判定出①正确;再根据全等三角形对应角相等可得∠ABF=∠DAE,然后证明∠ABF+∠BAO=90°,再得到∠AOB=90°,从而得出AE⊥BF,判断②正确;假设AO=OE,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB=BE,再根据直角三角形斜边大于直角边可得BE>BC,即BE>AB,从而判断③错误;根据全等三角形的面积相等可得S△ABF=S△ADE,然后都减去△AOF的面积,即可得解,从而判断④正确.
正方形的性质;全等三角形的判定与性质.
本题考查了正方形的四条边都相等,每一个角都是直角的性质,全等三角形的判定与性质,综合题但难度不大,求出△ABF和△DAE全等是解题的关键,也是本题的突破口.
举一反三
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