已知函数 f(x)= lnx - ax^2 + (2-a)x (a>0)

题目

已知函数 f(x)= lnx - ax^2 + (2-a)x (a>0)

答案

已知函数 f(x)= lnx - ax^2 + (2-a)x (a>0)
I.求 f(x) 的单调区间
II.证明:当 0=0.(*)
依题有:
lnx1-ax1^2+(2-a)x1=0.(1)
lnx2-ax2^2+(2-a)x2=0.(2)
f'(xo)=1/xo-2axo+(2-a)>=0.(3)
x1+x2=2xo.(4)
联立(1)~(4)消去a有
2(x2-x1)/(x1+x2)-ln(x2/x1)>=0
即 2[(x2/x1)-1]/[1+(x2/x1)]-ln(x2/x1)>=0.(**)
记x2/x1=t>1
并引入函数
h(t)=2(t-1)/(t+1)-lnt,t>1
求导易得
h'(t)=-(t-1)^2/[t(t+1)^2]1上单调减少,又h(t)可在t=1处连续,则
h(t)1
即　2[(x2/x1)-1]/[1+(x2/x1)]-ln(x2/x1)