已知定义域为R的函数f(x)＝−2x+b2x+1+a是奇函数． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）解不等式f（5-2x）+f（3x+1）＜0．

题目

已知定义域为R的函数f(x)＝

−2x+b

2x+1+a

是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）解不等式f（5-2x）+f（3x+1）＜0．

答案

（I）∵函数f(x)＝

−2x+b

2x+1+a

是奇函数
∴f（0）=0，f（1）=-f（-1），
即

b−1 a+2 ＝0 b−2 a+4 ＝− b− 1 2 a+1

解得a=2，b=1
（II）由（I）得f(x)＝

−2x+1

2x+1+2

=−

1

2

+

1

2x+1

∵y=2^x为增函数，
∴y=2^x+1为增函数，
∴y=

1

2x+1

为减函数，
∴函数f（x）为减函数
若f（5-2x）+f（3x+1）＜0
则f（5-2x）＜-f（3x+1）=f（-3x-1）
则5-2x＞-3x-1
解得x＞-6

（I）利用奇函数定义f（x）=-f（x），根据f（0）=0，f（-1）=-f（1），构造方程组，解方程组可求a，b的值；
（II）由已知中函数的解析式，分析出函数的单调性，结合（I）中函数的奇偶性，可将不等式f（5-2x）+f（3x+1）＜0化为x的一次不等式，进而得到答案．

本题考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．

考点点评：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元一次不等式的解法，熟练掌握函数单调性及奇偶性的定义是解答的关键．