如图,测量河对岸A、B两点间的距离,沿河岸选取相距40米的C、D两点,测得:∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,则AB的距离是_.
题目
如图,测量河对岸A、B两点间的距离,沿河岸选取相距40米的C、D两点,测得:∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,则AB的距离是______.
答案
∵∠ADB=60°,∠ADC=30°,
∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=90°,又∠BCD=45°,
∴△BCD为等腰直角三角形,又CD=40,
∴BD=CD=40,
在△ACD中,∠ACD=∠ACB+∠BCD=105°,∠ADC=30°,
∴∠CAD=45°,
又sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=
,
由正弦定理
=
得:
=
,
解得:AD=20(
+1),
在△ABD中,利用余弦定理得:AB
2=AD
2+BD
2-2AD•BDcos60°=400(
+1)
2+40
2-800(
+1)=2400,
解得:AB=20
.
故答案为:20
由∠BDC=∠ADB+∠ADC及∠ADB与∠ADC的度数,求出∠BDC为直角,又∠BCD=45°,得到三角形BCD为等腰直角三角形,可得出BD=CD=40,在三角形ACD中,利用三角形内角和定理求出∠ACD与∠CAD的度数,再由CD的长,利用正弦定理求出AD的长,在三角形ABD中,由AD,BD及cos∠ADB的值,利用余弦定理即可求出AB的长.
余弦定理;正弦定理.
此题考查了正弦、余弦定理,等腰直角三角形的判定与性质,两角和与差的正弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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