设A(-c,0)、B(c,0)(c>0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0),求P点的轨迹.

设A(-c,0)、B(c,0)(c>0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0),求P点的轨迹.

题目
设A(-c,0)、B(c,0)(c>0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0),求P点的轨迹.
答案
设动点P的坐标为(x,y),
|PA|
|PB|
=a(a>0)得
(x+c)2+y2
(x-c)2+y2
=a,
化简可得(1-a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1-a2)+(1-a2)y2=0.
当a=1时,方程化为x=0.
当a≠1时,方程化为(x-
1+a2
a2-1
c)2+y2=(
2ac
a2-1
2
所以当a=1时,点P的轨迹为y轴;
当a≠1时,点P的轨迹是以点(
a2+1
a2-1
c,0)为圆心,|
2ac
a2-1
|为半径的圆.
设动点P的坐标为(x,y),欲求P点的轨迹,只须求出坐标x,y的关系式即可,由题中条件:“
|PA|
|PB|
=a”将坐标代入化简即得.

轨迹方程.

本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、两点间的距离公式等知识,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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