基本不等式及其应用的题目

题目

基本不等式及其应用的题目
已知a,b,c是不全相等的正数,且abc=1,求证：1/a+1/b+1/c>√a+√b+√c

答案

abc=1
1/a=bc,1/b=ac,1/c=ab
1/a+1/b+1/c
=ab+bc+ca
=(2ab+2bc+2ca)/2
=(ab+bc+bc+ca+ca+ab)/2
>=(2√ab^2c+2√abc^2+2√a^2bc)/2…………（平均不等式）
=√ab^2c+√abc^2+√a^2bc…………（abc=1）
>=√a+√b+√c
等号成立条件a=b=c
又已知a,b,c是不全相等的正数
1/a+1/b+1/c>√a+√b+√c