求即使lim f(x)和lim g(x)分别都不存在,但是lim[f(x)*g(x)]存在

题目

求即使lim f(x)和lim g(x)分别都不存在,但是lim[f(x)*g(x)]存在
x->c x->c x->c
题目中的3个式子都是当x趋向于c的时候,c可以取任何值

答案

是要找到这样的函数吗?下面有这样的g(x)和f(x)
用狄利克雷函数的构造方法：
f(x)就是狄利克雷函数：
即：
f(x)=0,x是有理数；
f(x)=1,x是无理数
g(x)=f(x)-1,也就是：
g(x)=-1,x是有理数；
g(x)=0,x是无理数时.
显然因为无理数和有理数都是稠密的,所以f(x),g(x)在任意c∈R处都是没有极限的.
但f(x)*g(x)≡0,
所以f(x)*g(x)在任意c∈R处,都是有极限的且极限是0.