证明：设A是一个n阶方阵,如果对任一个n维向量x,都有Ax=0,那么A=0

题目

证明：设A是一个n阶方阵,如果对任一个n维向量x,都有Ax=0,那么A=0
如题

答案

证法一 由于有关系式
（A的秩）＋（Ax＝0的解空间维数）＝n
现在依照题意,Ax＝0的解空间是整个空间,即
（Ax＝0的解空间维数）＝n
所以A的秩是零,因此A＝0
证法二 （反证）设A≠0,则A的某个元素a（i,j）≠0,令x是第j个分量为1、其余元素为零的n元列,则n元列Ax的第i个分量为a（i,j）≠0,与题设矛盾.