增广矩阵的秩有什么含义,比如三个平面的方程组中增广矩阵的秩有什么具体的含义

题目

增广矩阵的秩有什么含义,比如三个平面的方程组中增广矩阵的秩有什么具体的含义

答案

线性方程组（非其次的）有解的充分必要条件是他的系数矩阵与他的增广矩阵有相同的秩.应该指出这个判别调件与消元法是一致的.我们知道用消元法解方程组的第一步就是用初等行变换把增广矩阵化成阶梯型.这个阶梯型矩阵在适当调动前n列的顺序后可能有两种情形：一种是不全为0的最后一行为0 0 0……0 d(r+1)
或者是 0 0 0……c（rr)……c（rn） d（r）
在前一种方程无解,后一种有解.事实上,把这个阶梯型矩阵的最后一列去掉,那就是线性方程组的系数矩阵经过初等变换所化成的阶梯形.这就是说当系数矩阵与增广矩阵的秩相同是,方程组有解；当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1是方程组无解.
看一下这个方程组a11x1+a12x2+a13x3=b1;a21x1+a22x2+a23x3=b2;
他的系数矩阵为A={a11 a12 a13 增广矩阵B{a11 a12 a13 b1
a21 a22 a23} a21 a22 a23 b2}
他们的秩可能是1或2.有3种可能:
1.r(A)=1,r(B)=1.这就是A的两行成比例,因而这两个平面平行.又因为B的两行也成比例所以这两个平面重合,方程组有解.
2.r(A)=1,r(B)=2.是说两个平面平行而不重合.方程组无解.
3.r(A)=2,这时r(B)一定为2.在几何上就是这两个平面不平行,因而一定相交.方程组无解.
抄书的,当打字练习吧.