已知两个向量a=(cosx,sinx),b=(2根号2+sinx,2根号2-cosx),f（x）=ab,x属于【0,π】

题目

已知两个向量a=(cosx,sinx),b=(2根号2+sinx,2根号2-cosx),f（x）=ab,x属于【0,π】
1）求f（x）的值域
（2）若ab=1,求cos（x+7π/12）

答案

（1） f（x）＝ab=2√2cosx+sinxcosx+2√2sinx-sinxcosx
=2√2(sinx+cosx) = 2√2 × √2sin(x+π/4) = 4sin(x+π/4)
x属于【0,π】,(x+π/4)属于【π/4,5π/4】,sin(x+π/4)属于【-√2/2,1】.
所以 f（x）的值域为【-2√2,4】.
（2）若ab=1,则4sin(x+π/4)=1,sin(x+π/4)=1/4.
由cos（x+π/4）=±√（1-1/16）=-√15/4（余弦在第2,3象限取负）,
∴cos（x+7π/12）
=cos（x+π/4+π/3）
=cos（x+π/4）cosπ/3-sin（x+π/4）sinπ/3
=（-√15/4）×（1/2）-（1/4）×（√3/2）
=-（√15+√3）/8.