已知抛物线y=x2+2mx+n的顶点在直线y=-1/2x+1/2上，且过点（1，3），求这个抛物线的解析式．

题目

已知抛物线y=x²+2mx+n的顶点在直线y=-

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答案

∵y=x²+2mx+n=（x+m）²-m²+n，
∴抛物线的顶点坐标为（-m，-m²+n），
∴-

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2

×（-m）+

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2

=-m²+n，
即2m²+m-2n+1=0①，
∵抛物线过点（1，3），
∴2m+n+1=3，
∴n=-2m+2②，
②代入①得，2m²+5m-3=0，
∴（2m-1）（m+3）=0，
∴2m-1=0，m+3=0，
解得m₁=

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2

，m₂=-3，
当m₁=

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时，n=-2×

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2

+2=1，
当m₂=-3时，n=-2×（-3）+2=8，
∴抛物线的解析式为y=x²+x+1或y=x²-6x+8．