一道【数列】解答题

题目

一道【数列】解答题
已知数列{an}满足an/an-1=（n+1)/(n-1),（n∈N*,n>1),a1=2
注意：an-1中的n-1是下标哦.
（1）求证：数列{an}的通项公式an=n(n+1)
（2）求数列{1/an}的前n项和Tn

答案

an/a(n-1)=(n+1)/(n-1)(n>=2)
a(n-1)/a(n-2)=n(n-2)
...
a2/a1=3/1
上式全部相乘
an/a1=(n+1)!/2(n-1)!=n(n+1)/2,
an=n(n+1)
1/an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
Tn=1/a1+1/a2+...+1/an
=1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)