求证三角形内任一点到三边的距离之和等于一边的高?

题目

求证三角形内任一点到三边的距离之和等于一边的高?

答案

此题若不对三角形加以限制,则结论不普遍成立,举等腰直角三角形自行验证即可发现,内任一点到三边的距离之和恒大于斜边的高.
若是等边三角形,则结论成立.
利用三角形面积的各种不同表示方法,采用割补法,即是整体面积等于各个部分面积之和.
设等边三角形边长为X,一边的高为H,任一点到三边的距离分别为a,b ,c.
则利用面积公式,S=X*H/2=X*a/2+X*b/2+X*c/2
整理得,H=a+b+c 问题得证.