若关于x的不等式|x-1|+|x+2|＞a2+a+1（x∈R）恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A.（-1，2） B.（-∞，-1）∪（2，+∞） C.（-2，1） D.（-∞，-2）∪（1，+∞

题目

若关于x的不等式|x-1|+|x+2|＞a²+a+1（x∈R）恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A. （-1，2）
B. （-∞，-1）∪（2，+∞）
C. （-2，1）
D. （-∞，-2）∪（1，+∞）

答案

∵关于x的不等式|x-1|+|x+2|＞a²+a+1（x∈R）恒成立，
∴（|x-1|+|x+2|）的最小值＞a²+a+1，
又|x-1|+|x+2|≥|x-1-（x+2）|=3，
∴a²+a+1＜3，
解之得：a∈（-2，1）．
故选C．