设抛物线y2=2px（p＞0）上各点到直线3x+4y+12=0的距离的最小值为1，则p=_．

题目

设抛物线y²=2px（p＞0）上各点到直线3x+4y+12=0的距离的最小值为1，则p=______．

答案

设3x+4y+k=0是抛物线的切线
则：x=-

1

3

（4y+k）
y²=-2p（4y+k）×

1

3

即3y²+8py+2pk=0
判别式△=64p²-24pk=0
因为p≠0，所以，k=

8

3

p
3x+4y+

8

3

p=0与3x+4y+12=0的距离为：

1

5

|-12+

8

3

p|
所以：

1

5

|-12+

8

3

p|=1
p=

21

8

或

51

8

，
故答案为：

21

8

或

51

8

．