仅一道数学初中二次函数题

题目

仅一道数学初中二次函数题
已知抛物线y=x²-(m+8)x+2(m+6),设顶点为A,与x轴交于B、C两点.
①求B、C点坐标.
②问是否存在实数m,使△ABC为等腰直角三角形,如果存在,求m.若不存在请说明理由.

答案

(1)令y=0,解得x1=2,x2=m+6
所以B(2,0),C(m+6,0)
(2)BC中点为M(4+m/2,0),对称轴为x=(m+8)/2,顶点A纵坐标为(-m^2-8m-16)/4
因为开口方向,且与x轴有交点,所以顶点的纵坐标小于0,即(-m^2-8m-16)/40,所以m不等于-4,
若三角形ABC为等腰直角三角形,则M在对称轴上,且AM=BM
所以：(m+4)^2/4=(m+4)/2或(m+4)^2/4=(-m-4)/2
分别解得：m=-2,m=-4（舍）,m=-6
故m=-2.m=-6