高一数学——裂项求和法

题目

高一数学——裂项求和法
在数列an中,an=1/(n+1)+2/(n+1)+...+n/(n+1),又bn=2/（an*a(n+1))(n+1为下标）,求数列bn的前n项的和

答案

an=（1+2+3+...+n）/（n+1）=n(n+1)/2(n+1)=n/2,
所以bn=2/[(n/2)(n+1)/2]=8/n(n+1)=8[1/n-1/(n+1)],
所以Sn=b1+b2+b3+.+bn
=8[(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/n-1/(n+1))]
=8(1-1/(n+1))
=8n/(n+1).