同解的齐次线性方程组的系数矩阵必有相同的秩.

题目

同解的齐次线性方程组的系数矩阵必有相同的秩.
两个同解的齐次线性方程组,则它们必有相同的基础解系.

答案

两个线性方程组Ax=0与Bx=0同解,x是n维列向量
解相同,所以可以有相同的极大无关组,也就是有相同的基础解系,
基础解系所含的向量个数也是一样的
但是Ax=0的基础解系所含向量个数是n-r(A)
但是Bx=0的基础解系所含向量个数是n-r(B)
所以 n-r(A)=n-r(B)
从而 r(A)=r(B)