已知定义域为(0,正无穷)的函数f(x)满足对任意x∈(0,正无穷),恒有f(2x)=2f(x)成立

已知定义域为(0,正无穷)的函数f(x)满足对任意x∈(0,正无穷),恒有f(2x)=2f(x)成立

题目
已知定义域为(0,正无穷)的函数f(x)满足对任意x∈(0,正无穷),恒有f(2x)=2f(x)成立
已知定义域为(0,正无穷)的函数f(x)满足对任意x∈(0,正无穷),恒有f(2x)=2f(x)成立,且当x∈(1,2]时 ,f(x)=2-x ,求f(x)的分段解析式!
答案
f(x)=2^(n+1)-x x∈(2^n,2^(n+1)] n∈整数(正负皆可)
具体解法
当x∈(2^n,2^(n+1)]时, n∈整数(正负皆可)
由于f(2x)=2f(x) x∈(2^n,2^(n+1)]
所以f(x)=2f(x/2) x/2∈(2^(n-1),2^n]
=2^2f(x/(2^2)) x/(2^2)∈(2^(n-2),2^(n-1)]
=2^3f(x/(2^3)) x/(2^3)∈(2^(n-3),2^(n-2)]
=……
=2^nf(x/(2^n)) x/(2^n)∈(2^0,2^1]=∈(1,2]
又因为 当x∈(1,2]时 ,f(x)=2-x 代入上式
得到
f(x)=2^nf(x/(2^n))=2^n[2-x/(2^n)]=2^(n+1)-x x∈(2^n,2^(n+1)] n∈整数(正负皆可)
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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