已知定义域为（0,正无穷）的函数f(x)满足对任意x∈（0,正无穷）,恒有f(2x)=2f(x)成立

题目

已知定义域为（0,正无穷）的函数f(x)满足对任意x∈（0,正无穷）,恒有f(2x)=2f(x)成立
已知定义域为（0,正无穷）的函数f(x)满足对任意x∈（0,正无穷）,恒有f(2x)=2f(x)成立,且当x∈（1,2]时 ,f(x)=2-x ,求f(x)的分段解析式!

答案

f(x)=2^(n+1)-x x∈（2^n,2^(n+1)] n∈整数（正负皆可）
具体解法
当x∈（2^n,2^(n+1)]时, n∈整数（正负皆可）
由于f(2x)=2f(x） x∈（2^n,2^(n+1)]
所以f(x)=2f(x/2） x/2∈（2^(n-1),2^n]
=2^2f(x/(2^2)) x/(2^2)∈（2^(n-2),2^(n-1)]
=2^3f(x/(2^3)) x/(2^3)∈（2^(n-3),2^(n-2)]
=……
=2^nf(x/(2^n)) x/(2^n)∈（2^0,2^1]=∈(1,2]
又因为 当x∈（1,2]时 ,f(x)=2-x 代入上式
得到
f(x)=2^nf(x/(2^n))=2^n[2-x/(2^n)]=2^(n+1)-x x∈（2^n,2^(n+1)] n∈整数（正负皆可）