定义域为（0,正无穷）的函数f(x)满足对任意x∈（0,正无穷）,恒有f(2x)=2f(x)成立,

题目

定义域为（0,正无穷）的函数f(x)满足对任意x∈（0,正无穷）,恒有f(2x)=2f(x)成立,
当x∈（1,2]时 ,f(x)=2-x 给出如下结论 正确的是?
1.函数f(x)的值域为[0,正无穷）
2.存在n∈Z,使得f(2的n次幂+1)=9
3.若k∈Z,（a,b）属于（2的k次幂,2的k+1次幂）,则函数f(x)在区间（a,b）上单调递增

答案

容易得出f(x)=2f(x/2)=2(2-x/2)=4-x,当x位于(2 4]时,类似推理或用数学归纳法可以证明f(x)=2^(n+1)-x,当x位于（2^n,2^(n+1)】,其中n可取负整数,即n是整数时表达式都成立.因此1、取x=2^n+1,f(x)=2^(n+1)-x=2^n-1,n趋于...