将函数f（x）=ex展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）

题目

将函数f（x）=e^x展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）

答案

∵f（x）=e^x，
∴f′（x）=f″（x）=fⁿ（x）=e^x
∴f（0）=f′（0）=f″（0）=fⁿ（0）=1
函数在区间-r≤x≤r上有|fⁿ（x）|=|e^x|≤e^r（n=1，2）
所以函数e^x可以在区间[-r，r]上展开成幂级数，
因为r＞0是任意的，
所以，函数e^x在区间（-∞，+∞）上可展成幂级数，
特别的它的马克劳林级数是ex＝1+x+

x2

2!

+

x3

3!

+…+

xn

n!

．