(1/n)^3+(2/n)^3+……(n/n)^3=an^2+bn+c/n 数学归纳法

题目

(1/n)^3+(2/n)^3+……(n/n)^3=an^2+bn+c/n 数学归纳法
(1/n)^3+(2/n)^3+……(n/n)^3=(an^2+bn+c)/n 数学归纳法求证

答案

先将n=1,2,3代入原式得关于a,b,c的方程组求得a=1/4,b=1/2,c=1/4；原式变为：
（1^3+2^3+……n^3）/n^3=（n+1）^2/(4*n)
1、令n=1,原式成立；
2、假设n=k时,原式成立；
3、令n=k+1,有（1^3+2^3+……+（k+1）^3）/（k+1）^3
=[（1^3+2^3+……+k^3）/k^3]*k^3/（k+1）^3+1
约分化简得n=k+1时,原式=（k+2）^2/(4*(k+1)),成立.
综上,(1/n)^3+(2/n)^3+……(n/n)^3=(（1/4）n^2+（1/2）n+（1/4）)/n