求高一数学基本不等式题型

题目

求高一数学基本不等式题型
高一基本不等式的题型 - - 多多益善

答案

1 (1)求函数y＝x(a－2x)(x＞0,a为大于2x的常数)的最大值；
(2)已知x>0,y>0,lgx＋lgy＝1,求z＝2x＋5y的最小值．
(1)∵x＞0,a＞2x,∴y＝x(a－2x)＝12×2x(a－2x)
≤12×[2x＋a－2x2]2＝a28,
当且仅当x＝a4时取等号,故函数的最大值为a28.
(2)由已知条件lgx＋lgy＝1,可得xy＝10.
则2x＋5y＝2y＋5x10≥210xy10＝2.
∴(2x＋5y)min＝2.
当且仅当2y＝5x,即x＝2,y＝5时等号成立．
2 已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋y的最小值．
由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1),得x>0,y>03xy＝x＋y＋1.
(1)∵x>0,y>0,
∴3xy＝x＋y＋1≥2xy＋1,
∴3xy－2xy－1≥0,
即3(xy)2－2xy－1≥0,
∴(3xy＋1)(xy－1)≥0,
∴xy≥1,∴xy≥1,
当且仅当x＝y＝1时,等号成立．
∴xy的最小值为1.
(2)∵x>0,y>0,∴x＋y＋1＝3xy≤3•(x＋y2)2,
∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0,
∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0,
∴x＋y≥2,
当且仅当x＝y＝1时取等号,
∴x＋y的最小值为2.