如图在平行四边形ABCD中,AB=6cm,AD=AC=5cm.点P由C出发沿CA方向匀速运动,速度为1cm/s；同时,线段EF由AB

题目

如图在平行四边形ABCD中,AB=6cm,AD=AC=5cm.点P由C出发沿CA方向匀速运动,速度为1cm/s；同时,线段EF由AB
同时,线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动,速度为1cm/s,交AC于Q,连接PE.PF.设运动时间为t（s）（0〈t〈5).
（1）.当t为何值时,PE∥CD?
(2)试判断三角形PEF形状,并并请说明理由；
(3)当0＜t＜2.5时,
①在上述运动过程中,五边形ABFPE的面积是否为定值?如果是,直接写出五边形ABFPE的面积,如果不是,说明理由；
②试求三角形PEQ的面积的取值范围.

答案

（1）首先用t表示出AE、CP、AP的长,若PE∥CD,那么△APE∽△ACD,根据相似三角形所得比例线段即可求得此时t的值．
（2）由于AD=AC,且QE∥CD,所以△AQE也是等腰三角形,即AQ=AE,由P、Q的速度可知：CP=AE=AQ,进而可求得CQ=AP,同理可证得△CFQ也是等腰三角形,即CF=CQ,由此得CF=AP,已求得AE=PC,而∠DAC=∠FCP,由此可证得△FCP≌△PAE,即可证得PF=PE,即△PEF是等腰三角形．
（3）①由（2）的全等三角形知：△AEP、△EPC的面积相等,因此五边形的面积可转化为△ABC的面积,所以五边形的面积是个定值；
②由（1）的相似三角形,易求得QE的表达式,分别过C、P作AB、EF的垂线CG、PH,交AB于G,交EF于H,根据等腰三角形三线合一的性质,易求得AG、BG的值,进而可求得∠ACG（即∠EPH）的余弦值,即可根据PQ的长表示出QE边上的高PH的值,由三角形的面积公式,可得关于△PQE的面积和t的函数关系式,根据函数的性质即可得到△PQE的最大面积,从而求得其面积的取值范围．（本题12分）
（1）由题意知AE=BF=CP=t,AP=5-t,
在▱ABCD中,AD=BC=AC=5,AB=EF=CD=6,
当PE∥CD时,△APE∽△ACD,
∴ T/5=5-T/5,
∴t=2.5．
（2）是等腰三角形．
证明：在▱ABCD中,AD=BC=AC=5,AB=EF=CD=6,∴∠CAB=∠CBA,
∵AB∥EF,∴∠CQF=∠CAB,∠CFQ=∠CBA,
∴∠CFQ=∠CQF,∴CF=CQ,
∴AQ=BF=AE,∴AP=CQ=CF,
∵AD∥BC,∴∠PAE=∠FCP,
∴△PAE≌△FCP（SAS）,∴PE=PF．
（3）①是定值,为12．
理由：由（2）的全等三角形知：S△AEP=S△PCF,即S五边形BFPEA=S△ABC；
过C作CG⊥AB于G,
等腰△ACB中,AG=BG=3,AC=BC=5,则CG=4；
∴S五边形BFPEA=S△ABC= ×6×4=12．
②由（1）知：△APE∽△ACD,
∴OE/CD=AE/AD ,即 OE/6=T/5,QE=6T/5 ；
过P作PH⊥EF于H,
由①易得：cos∠APH=cos∠ACG=4/5 ,
故PH= 4/5PQ= 4/5（5-2t）；
设△PEQ的面积为y,则Y= -24/25(T-5/4)的平方+3/2,
∴当 t=5/4时,y最大=3/2 ,
∴ 0>sPEO