讨论分段函数f(x)=sinx/(1-e^1/x),x不等于0,f(x)=0,x=0的可导性,并在可导点求导函数

题目

讨论分段函数f(x)=sinx/(1-e^1/x),x不等于0,f(x)=0,x=0的可导性,并在可导点求导函数

答案

不等于0的点显然可导,f'(x)=(cosx(1-e^(1/x))-sinx*1/x^2*e^(1/x))/(1-e^(1/x))^2.lim (x->0+)(f(x)-f(0))/(x-0)=lim (x->0+)sinx/x/(1-e^(1/x))=0（因为e^(1/x)趋于+无穷）.lim (x->0-)(f(x)-f(0))/(x-0)=lim (x->0-)sinx/x/(1-e^(1/x))=1（因为e^(1/x)趋于0,当x趋于0-时）,不可导