已知复数z,|z|=根号2且z²+2z拔为实数.

题目

已知复数z,|z|=根号2且z²+2z拔为实数.
(1)求复数z；（2）z为实系数一元二次方程ax²+bx+c=0的根,试求这个方程

答案

第一问
设复数z=a+bi
则|z|²=a²+b²=2标注为①
z²+2z
=(a+bi)²+2(a+bi)
=a²+2abi-b²+2a+2bi
=a²-b²+2a+(2ab+2b)i
故2ab+2b=0标注为②
且b≠0标注为③
联立①②③解得a=-1,b=1或a=-1,b=-1
即复数z为-1+i或-1-i
第二问
当z=-1+i时,将其代入一元二次方程可得
a(-1+i)²+b(-1+i)+c=0
-2ai-b+bi+c=0
即b-2a=0
c-b=0
即a=b/2,c=b
所以这个方程为
bx²/2+bx+b=0
x²+2x+2=0
当z=-1-i时,将其代入一元二次方程可得
a(-1-i)²+b(-1-i)+c=0
2ai-b-bi+c=0
即2a-b=0
c-b=0
即a=b/2,c=b
所以这个方程为
bx²/2+bx+b=0
x²+2x+2=0
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