已知定义在（0,+∞）上的函数f(x)满足：1.对任意的x,y∈（0,+∞）,都有f(xy)=f(x)+f(y);2.当x>1时,f(x

题目

已知定义在（0,+∞）上的函数f(x)满足：1.对任意的x,y∈（0,+∞）,都有f(xy)=f(x)+f(y);2.当x>1时,f(x
>0.
求证：1.对任意的x∈（0,+∞）,都有f(1/x)=-f(x)
2.f(x)在（0,+∞）上是增函数.
2.当x>1时，f(x）>0

答案

证明：1. ∵对任意的x∈(0,+∞), f(xy)=f(x)+f(y)∴f(x*1)=f(x)+f(1)∴f(1)=0又f(x*(1/x))=f(x)+f(1/x)∴f(x)+f(1/x)=f(x*(1/x))=f(1)=0∴f(1/x)=-f(x)2. 任取x1>x2>0则由上题结论知-f(x)=f(1/x)∴f(x1)-f(x2)=f(x1)...