设A,B,C,D是半径为R的球面上的四点,且AB,AC,AD两两相互垂直,则△ABC,
题目
设A,B,C,D是半径为R的球面上的四点,且AB,AC,AD两两相互垂直,则△ABC,
△ABD,△ACD面积之和S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值为( )
A.R^2
B.3R^2
C.4R^2
D.2R^2
晕 题目选项里面都没有这个答案
R^2代表的是R的平方
答案
答案选D
首先,△ABC确定一个小圆,设其圆心H,半径为r,∠ABC=α,
因为AB⊥AC,所以BC是小圆的直径,
BC=2r
AB=BCcosα=2rcosα
AC=BCsinα=2rsinα
连接AH并延长与球交于点P,DP的中点记为O,
则OH为△ADP的中位线,所以OH‖AD,AD=2OH
因为AD⊥AB,AD⊥AC,所以AD⊥面ABC,所以AD⊥AP,
所以△ADP又确定一个圆,DP是其直径,O是圆心,
OH‖AD,AD⊥面ABC,所以OH⊥面ABC,
所以△ADP确定的圆是大圆,O是球心,OB=R,设∠OBC=β,则
r=OBcosβ=Rcosβ
OH=OBsinβ=Rsinβ
AD=2OH=2Rsinβ
综上所述,
AB=2rcosα=2Rcosαcosβ
AC=2rsinα=2Rsinαcosβ
AD=2Rsinβ
所以
S=S△ABC+S△ABD+S△ACD
=0.5AB*AC+ 0.5AB*AD+0.5AC*AD
=0.5*2Rcosαcosβ*2Rsinαcosβ+ 0.5*2Rcosαcosβ*2Rsinβ+0.5*2Rsinαcosβ*2Rsinβ
=2R²cosαcos²βsinα+2R²cosαcosβsinβ+2R²sinαcosβsinβ
=2R²[cosαsinαcos²β+(cosα+sinα)cosβsinβ]
运用均值不等式cosα+sinα≥2√(cosαsinα)得
cosαsinα≤0.25(cosα+sinα)²,所以
S≤2R²[0.25(cosα+sinα)²cos²β+(cosα+sinα)cosβsinβ]
对于cosα+sinα应该已经很熟悉了,
cosα+sinα=√2sin(α+π/4),当α=π/4时取得最大值√2.所以
S≤2R²[0.25(√2)²cos²β+(√2)cosβsinβ]
=2R²[0.5cos²β+(√2)cosβsinβ]
运用半角公式有
S≤2R²[0.25(1+cos2β)+(√2/2)sin2β]
=2R²[0.25+0.25cos2β+(√2/2)sin2β]
=2R²[0.25+0.75cos(2β-φ)] (tanφ=2√2)
≤2R²[0.25+0.75]
=2R²
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
- 今天急用
- 把123456789填入下面方框,不重复,使等式成立 ()*()*[()+()+()+()]*[()+()-()]=2002
- 滔滔不绝—(绝 )—( )—( )—( )—( )—( )
- 最大的蓝鲸骨骼重20吨约占其体重的七分之一.它的体重是多少吨?(写出计算过程)
- 一块三公顷的菜地平均分成八份,每份占这块地的( ),每份是( )公顷?
- 用适当形式填空:Can you help kinds _____(swim)
- expect expect for和expect to的区别
- 除去氯化钠中的硫酸钠,氯化镁,氯化钙,用NaOH,BaCl2,Na2CO3,HCl.可是我觉得
- 一根重100N的均匀直铁棒放在水平地面上,抬起一端所需最小的力是多少
- 某校在400米跑道上进行10000米赛跑,甲乙两名同时起跑,乙的速度保持不变,开始时甲比乙慢,在第15分钟时甲加快速度,并保持速度不变,在第18分钟时甲追上乙且超过乙,在第23分钟时甲再次追上乙,而在
热门考点
- l的斜率k满足-1≤k<2,求倾斜角a的范围
- 叶绿素提取和分离试验
- 这个英文句子的意思,我不清楚?
- He asks her ,what is wrong with you?合并为一句
- 溢出标志位 怎么判断
- 如何通过电场线判断电场强度?即与电场线弯曲程度等有没有关系?
- 要作文,差不多400字,写小狗的,要外形,特点,象征,急用,
- 知者减半,愚者全无
- 已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1、a3、a9成等比数列,则a1+a3+a9a2+a4+ a10的值为( ) A.914 B.1115 C.1316 D.1517
- 关于合成形容词