设p=（log2x）2+（t-2）log2x-t+1，若t在区间[-2，2]上变动时，p恒为正值，试求x的取值范围．

题目

设p=（log₂x）²+（t-2）log₂x-t+1，若t在区间[-2，2]上变动时，p恒为正值，试求x的取值范围．

答案

p=（log₂x-1）t+（log₂x）²-2log₂x+1，∵t∈[-2，2]时p恒为正值，
∴

-2(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1＞0 2(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1＞0

解得log₂x＜-1或log₂x＞3，
即0＜x＜

1

2

或x＞8．

根据题意，对p化简可得p=（log₂x-1）t+（log₂x）²-2log₂x+1，因为t∈[-2，2]时p恒为正值，所以把t=-2和t=2两个数代入p=（log₂x-1）t+（log₂x）²-2log₂x+1中，令p都大于0，由此得到一个不等式组，解这个不等式组就能得到答案．

本题考点：对数函数图象与性质的综合应用；函数恒成立问题．

考点点评：充分控掘题设中的隐含条件，恰当地建立不等式组是准确解题的关键．