判断二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)在区间[-b/2a,+∞)上的增减性并依定义给出证明.
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判断二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)在区间[-b/2a,+∞)上的增减性并依定义给出证明.
题目
判断二次函数f(x)=ax
2
+bx+c(a<0)在区间[-
b
2a
答案
f(x)在
[−
b
2a
,+∞)
上是减函数,设x
1
,x
2
∈
[−
b
2a
,+∞)
且x
1
<x
2
,
则f(x
1
)-f(x
2
)=a(
x
1
2
-
x
2
2
)+b(x
1
-x
2
)=a(x
1
-x
2
)(x
1
+x
2
+
b
a
),
∵x
1
,x
2
∈
[−
b
2a
,+∞)
∴-
b
a
<x
1
+x
2
<+∞
∴x
1
+x
2
+
b
a
>0,而x
1
-x
2
<0,a<0,∴f(x
1
)-f(x
2
)>0,即f(x
1
)>f(x
2
),
∴二次函数f(x)=ax
2
+bx+c(a<0)在区间
[−
b
2a
,+∞)
上是减函数.
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